Bonjour, je n’arrive pas après la deuxième question, j’ai donc besoin de votre aide Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;-2), B(7;1) et C(-1;3
Question
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;-2), B(7;1) et C(-1;3)
1) Calculer les coordonnées du vecteur CB
2) Prouver que la droite (CB) a pour équation: -2x -8y + 22= 0
3) On considère la hauteur (h) du triangle ABC issue de A
a. Justifier qu’une équation de (h) est du type 8x-2y+c=0 où c est un nombre fixé.
b. En remarquant que A appartient à cette droite, prouver que c= -20 et en déduire qu’une équation de (h) est -4x +y+10=0
4) On note H le point d’intersection de (h) et (BC)
a. résoudre le système :
-2x-8y=-22
y=4x-10
b. interpréter géométriquement cette solution
5) Calculer l’aire du triangle ABC
Merci d’avance !
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
CB(7-(-1);1-3) ==>CB(8;-2)
2)
Soit M(x;y) un point quelconque de la droite (CB).
MB(7-x;1-y)
Les vect CB et MB sont colinéaires donc :
8(1-y)-(-2)(7-x)=0
8-8y+14-2x=0
-2x-8y+22=0
On peut aussi écrire en divisant chaque terme par "-2" :
(AB) ==>x+4y-11=0
3)
a)
CB(8;-2)
(h) ⊥ (CB) donc un vecteur directeur de (h) est : (8;-2).
Donc (h) a pour équation : 8x-2y+c=0
b)
(h) passe par A(2;-2) donc on peut écrire :
8*2-2*(-2)+c=0
20+c=0
c=-20
(h) ==>8x-2y-20=0 soit en divisant chaque terme par "-2" :
-4x+y+10=0
4)
a)
(BC) ==> -2x-8y+22=0
(h) ==> -4x+y+10=0
On résout donc :
{-2x-8y=-22
{y=4x-10
Ce qui donne :
{-2x-8(4x-10)=-22
{y=4x-10
{-34x+80=-22
y=4x-10
{x=(-22-80)/-34=-102/-34=3
{y=4*3-10=2
Donc :
H(3;2)
b)
H est le pied de la hauteur du triangle ABC.
5)
Il nous faut la mesure AH.
vect AH(3-2;2-(-2)) ==> AH(1;4)
AH²=1²+4²=17
Mesure AH=√17
vect CB(8;-2)
CB²=8²+(-2)²=68
Mesure CB=√68=√(4 x 17)=2√17
Aire ABC=√17 x 2√17 / 2=17 unités d'aire.
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