bonjour quelqun peut m'aider svpp Exercice 2 : Soit g la fonction définie par : g(x)=ln(x2−2x−8) . 1. Déterminer l'ensemble de définition de g(x). 2. Déterminer

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

ln(x) est défini sur ]0;+∞] donc il faut :

x²-2x-8 > 0 qui est positif à l'extérieur des racines car le coeff de x² est positif.

Δ=(-2)²-4(1)(-8)=36

√36=6

x1=(2-6)/2=-2

x2=(2+6)/2=4

Donc Dg=]-∞;-2[ U ]4;+∞[

2)

Quand x tend vers -∞ :

lim(x²-2x-8)=lim x²=+∞

Et quand x tend vers +∞ , lim ln(x)=+∞

Donc :

lim g(x)=+∞ quand x tend vers -∞

Quand x tend vers +∞ :

Même raisonnement que ci-dessus . donc :

lim g(x)=+∞ quand x tend vers +∞

Quand x tend vers -2 avec x < -2 :

x² -2x - 8 tend vers zéro .

Et ln(x) tend vers -∞ quand x tend vers zéro.

Donc :

lim g(x)=-∞ quand x tend vers -2 avec x < 2.

Quand x tend vers 4 avec x > 4 :

Même raisonnement que ci-dessus.

Donc :

lim g(x)=-∞ quand x tend vers 4  avec x > 4.

3)

La dérivée de ln(u) est : u'/u.

Ici : u=x²-2x+8 donc u '=2x-2

g '(x)=(2x-2)/(x²-2x-8)

OU :

g '(x)=2(x-1)/(x²-2x-8)

4)

Sur Dg , le dénominateur est positif donc g '(x) est du signe de : x-1.

x-1 > 0 ==> x > 1

Donc sur ]-∞;-2[ , g'(x) < 0

Et sur ]4;+∞[ , g '(x) > 0.

tu fais un tableau pour g '(x) si tu veux .

Moi, je ne fais qu'un tableau :

x--------->-∞.......................-2 // 4.......................+∞

g '(x)---->..............-.............||  // ||................+..........

g(x)----->..............D............||  // ||............C...........

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

Tu indiques les limites dans ton tableau aux extrémités des flèches.

Voir graph non demandé.