Bonjour, je ne comprends pas cet exercice, pouvez-vous m’aider ?

Réponse :

bonjour je te mets mon idée concernant ton exercice.

Explications étape par étape :

f(x)=(1+x)(e^-x)

1a) e^-x est toujours >0 donc le signe de f(x) dépend du signe de 1+x

f(x)=0 pour x=-1

si x<-1, f(x) <0   et si x >-1, f(x)>0

1b)limites: si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo

si x tend vers +oo, f(x) tend vers 0+

Dérivée: f'(x)=(e^-x)-(e^-x)(1+x)=-x(e^-x)

on note que f'(x)=0 pour x=0 , f'(x)>0 pour x<0 et f'(x)<0 pour x>0

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                   -1                 0                                   +oo

f'(x)              +                    +        0              -

f(x)  -oo ....C........... 0..........C........f(0)  ..............D..................0+

f(0)=1

1c) trace la courbe  (facile)

2) In=intégrale de 1 à n de f(x) dx  

2a)Cette intégrale représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=n  

Cette valeur est  une aire au dessus de l'axe des abscisses elle est donc toujours >0 sauf pour I1  qui est=0

2b)On note que I(n+1)=Intégrale de 1 à (n+1) de f(x) dx=

I(n+1)=intégrale de 1à n de f(x) dx + Intégrale de n à (n+1) de f(x) dx

Ces deux intégrales étant positives la somme I(n+1) est >In

La suite In est donc croissante

3a)F(x)=(ax+b)(e^-x); F(x) est une primitive de f(x)  si F'(x)=f(x)

F'(x)=a(e^-x)-(e^-x)(ax+b)=(a-ax-b)(e^-x)=(-ax+a-b)(e^-x)

par comparaison F'(x)= f(x) si a=-1 et b=-2

la fonction F(x)=(-x-2)(e^-x) est une primitive de f(x)

3b) In=F(n)-F(1)=(-n-2)(e^-n)+3/e

3c) si n tend vers +oo (-n-2)(e^-n) tend vers0

et la suite In tend vers 3/e (limite de la suite)