Bonjour je n’arrive pas à résoudre cet exercice vous pourriez m’aider svp

Question 1.

A(-2;0) appartient à la courbe, donc f(-2)=0, ou encore :

[tex]f(-2) = (a \times (-2) + b) e^{-2}=0[/tex]

Par conséquent, comme [tex]e^{-2} \neq 0[/tex] :

[tex]a \times (-2) + b = 0\\-2a+b=0[/tex]

De plus, B(0;2) appartient à la courbe, donc :

[tex]f(0) = (a \times 0 + b) e^{-0} = 2[/tex]

Donc :

[tex]b \times e^{-0} = 2\\b \times 1 = 2\\b = 2[/tex]

Donc :

[tex]-2a+b=0\\-2a + 2 = 0\\a=1[/tex]

D'où : [tex]f(x)=(x+2)e^{-x}[/tex]

Question 2.

[tex]f[/tex] est dérivable sur R (composition fonction affine ; exponentielle) et :

[tex]f'(x) = e^{-x} - (x+2)e^{-x}\\f'(x) = (-x-1)e^{-x}[/tex]

[tex]e^{-x}>0[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex] donc le signe de la dérivée dépend de [tex]-x-1[/tex].

[tex]-x-1\geq 0\\-x\geq 1\\x\leq -1\\\\-x-1\leq 0\\-x\leq -1\\x\geq -1[/tex]

f' positif pour x inférieur ou égal à -1 donc f croissante sur ]- inf ; -1]

f' négatif pour x supérieur ou égal à -1 donc f croissante sur [-1 ; +inf[

Explications étape par étape :

Réponse :

1) déterminer a et b

a : coefficient directeur = 1

b : l'ordonnée à l'origine  b = 2

2) étudier les variations de f

     f(x) = (x + 2)e⁻ˣ

     f '(x) = (u*v)' = u'v+v'u

u = x + 2   d'où  u' = 1

v = e⁻ˣ   ;  v' = - e⁻ˣ

f '(x) = e⁻ˣ  - e⁻ˣ(x + 2)  = e⁻ˣ(1 - x - 2)

f '(x) = (- x - 1)e⁻ˣ

or  e⁻ˣ > 0   donc le signe de f'(x) dépend du signe de - x - 1

          x     - ∞                     - 1                   + ∞

       f '(x)                  +           0          -

       f(x)     - ∞ →→→→→→→→→ 3e⁻¹→→→→→→→ 0

                         croissante          décroissante    

Explications étape par étape :