Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon exercice de maths. Merci d'avance. Démontrons que √2 est un nombre irrationnel. On admettra la propriété suivante : Si a²
Mathématiques
user353
Question
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon exercice de maths. Merci d'avance.
Démontrons que √2 est un nombre irrationnel.
On admettra la propriété suivante : " Si a² est pair, avec a entier, alors a est pair" .
Nous allons raisonner par l'absurde.
Supposons que √2 = a/b, a et b entiers et a/b irréductibles.
1) Montrer alors que a² est pair.
2) En déduire alors que b² est aussi pair.
3) Conclure.
Démontrons que √2 est un nombre irrationnel.
On admettra la propriété suivante : " Si a² est pair, avec a entier, alors a est pair" .
Nous allons raisonner par l'absurde.
Supposons que √2 = a/b, a et b entiers et a/b irréductibles.
1) Montrer alors que a² est pair.
2) En déduire alors que b² est aussi pair.
3) Conclure.
1 Réponse
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1. Réponse Vins
bonjour
si on suppose par l'absurde que √2 est rationnel alors √2 = a/b où a et b sont des nombres entiers positifs.
on peut simplifier a/b jusqu'à la rendre irréductible.
√2 = a/b
⇔ √2 b =a
⇔ 2 b² = a²
a² est pair donc peut s'écrire a = 2 p ou p est un entier positif
b²est pair donc on peut simplifier a/b par 2
quand une fraction est irréductible cela signifie que a et b sont premiers entre eux , or, si on peut simplifier a/b par 2 , a et b ne sont plus premiers entre eux donc on a une contradiction.
puisque l'hypothèse de devoir est contredite , on retient le contraire, à savoir que √2 est irrationnel