Bonjour ! Je beug sur un petit exo et j'aurais besoin d'aide... Démontrer que x^2n -y^2n est divisible par x+y (x,y)€R^2 ​

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

On démontre par récurrence :

Au rang n=1 on a

x²-y²=(x+y)(x-y) donc x²-y² est bien divisible par x+y

Supposons qu'au rang n, x^2n-y^2n soit divisible par x+y.

x^(2n+2)-y^(2n+2)=x²*x^2n-y²*y^2n

On ajoute et soustrait x²*y^2n

x^(2n+2)-y^(2n+2)=x²*x^2n-y²*y^2n+(x²*y^2n-x²*y^2n)

x^(2n+2)-y^(2n+2)=x²*x^2n-y²*y^2n+x²*y^2n-x²*y^2n

x^(2n+2)-y^(2n+2)=x²(x^2n-y^2n)+y^2n(x²-y²)

x^(2n+2)-y^(2n+2)=x²(x^2n-y^2n)+y^2n(x+y)(x-y)

Par hypothèse (x^2n-y^2n est divisible par (x+y) donc c'est la somme de 2 quantités divisibles par (x+y) donc x^(2n+2)-y^(2n+2) est divisible par (x+y)