Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice... pouvez vous m'aider ? a et ß sont deux nombres entiers naturels non nuls. Le nombre n est tel que : n= 2^a x 3^
Mathématiques
miaou32
Question
Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice... pouvez vous m'aider ?
a et ß sont deux nombres entiers naturels non nuls. Le nombre n est tel que :
n= 2^a x 3^ ß
le nombre de diviseurs positifs de n^2 est le triple du nombre de diviseurs positifs de n
.
n> 200
1) Prouver que (a - 1)(ß-1) = 3.
2) Trouver n.
a et ß sont deux nombres entiers naturels non nuls. Le nombre n est tel que :
n= 2^a x 3^ ß
le nombre de diviseurs positifs de n^2 est le triple du nombre de diviseurs positifs de n
.
n> 200
1) Prouver que (a - 1)(ß-1) = 3.
2) Trouver n.
1 Réponse
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1. Réponse Sarra693
Réponse :
1. n possède (α + 1)(β + 1) diviseurs et n
2 = 22α3
2β admet (2α + 1)(2β + 1) diviseurs.
On a donc
(2α + 1)(2β + 1) = 3(α + 1)(β + 1)
⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3
⇔ αβ − α − β + 1 = 3
⇔ (α − 1)(β − 1) = 3
2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2, 4) et (4, 2) donnant deux possibilités pour n. n ∈ {144, 324}