Bonjour je suis en classe de 1ère f est la fonction définie sur Df par f(x) = 2x + 1 / 4x² + 4x + 5 Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthogon
Question
f est la fonction définie sur Df par f(x) = 2x + 1 / 4x² + 4x + 5
Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O: i → , j →) d'unités graphiques 1cm en abscissse et 4cm en ordonnée. f' est la fonction dérovée de f sur Df.
1.a Tracer, à l'aide de la calculatrice, la parabole d'équation y = 4x² + 4x +5
En déduire que f est définie sur ℝ
b. Vérifier que, pour tout x ∈ ℝ
f'(x) = -2 ( 2x + 3 ) ( 2x - 1 ) / ( 4x² + 4x + 5 )²
c. Étudier le signe de f'(x) sur ℝ puis dresser le tableau de variations de f.
d. Tracer la courbe Cf
2. F est une fonction définie sur ℝ ayant pour dérivée la fonction f. On sait, de plus, que F ( -3/2) = 0
a. Déterminer une équation de la tangente d à la courbe représentative de F au point d'abscisse -3/2
b. Des trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation de F ? Justifier.
Merci d'avance!
1 Réponse
-
1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
f(x)=(2x+1)/(4x²+4x+5)
Il manque des (...) dans ton écriture . Tu en vois l'importance ?
La parabole y=4x²+4x+5 ne coupe pas l'axe des x donc :
le dénominateur de f(x) ne s'annule jamais.
Donc Df=IR
b)
f(x) est de la forme u/v avec :
u=2x+1 donc u ' =2
v=4x²+4x+5 donc v ' = 8x+4
f '(x)=[2(4x²+4x+5)-(2x+1)(8x+4)] / (4x²+4x+5)²
Je te laisse développer et trouver :
f '(x)=(-8x²-8x+6) / (4x²+4x+5)²
Maintenant on développe ce qui est donné :
-2(2x+3)(2x-1)=-2(4x²+4x-3)=-8x²-8x+6
Donc :
f '(x)=[-2(2x+3)(2x-1)] / (4x²+4x+5)²
c)
f '(x) est donc du signe de -2(2x+3)(2x-1) : voir tableau.
Tableau de variation :
x------->-∞...................-3/2.....................1/2....................+∞
-2------>...........-........................-..........................-.............
(2x+3)-->........-............0............+.......................+..............
(2x-1)--->........-..........................-.............0...........+............
f '(x)-->............-...........0...........+.............0...........-............
f(x)--->.............D.........?............C............?...........D........
D=flèche qui descend et C = flèche qui monte.
f(-3/2)=-1/4 et f(1/2)=1/4
d)
Voir graph joint.
2)
a)
Donc F '(x)= f(x)
Equation tgte à F au point d'abscisse -3/2 :
y=F ' (x) (x-(-3/2)) + F(3/2)
y=f(-3/2)(x+3/2)+0
y=-(1/4)(x+3/2)
y=-(1/4)x-3/8
b)
F(-3/2)=0 donc on élimine la 1ère courbe C1.
La tgte à C3 en x=-3/2 va couper l'axe des y en une valeur < -1 car l'ordonnée du sommet de cette parabole est -1.
Or l'ordonnée à l'origine de la tgte calculée au 2) a) est -3/8 > -1.
Donc la courbe de F est C2.
Autres questions
