Bonsoir  a tous, Je poste l'énoncé de mon exercice car j'ai des difficultés a résoudre la question 3.a) ,4.a)b)c). 1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l

Bonsoir  a tous,


Je poste l'énoncé de mon exercice car j'ai des difficultés a résoudre la question 3.a) ,4.a)b)c).

1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;3]

(e^-x)-x+3 > 0

2. F est la fonction définie sur [0;+[ par:

f(x)= x+2(e^x)/ 1+(e^x)

On a utilisé une calculatrice formelle pour obtenir la dérivée de la fonction f. Voici le résultat:


d/dx(x+2e^x/ 1+e^x) -((x-3)e^x-1)/(e^x+1)2


a) Justifier, en utilisant les résultats affichés , que pour tout x0, f'(x) a la même signe que (e^-x)-x+3

b) En déduire le sens de variation de f sur [0;3]

c) Vérifier que pour tout x positif ou nul, 2-f(x)= (2-x)1/1+e^x


3. La suite u est définie par U0= 0 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1= f(Un)





a) La figure ci dessous représente la courbe (T) de la fonction f sur l'intervalle [0;3] ainsi que la droite d'équation x=y


On obtient une droite verte x=y et une courbe (T) rouge partant de 1 et croissante.


Construire sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite.
Emettre une conjecture sur le comportement de cette suite (sens de
variation, bornes, limite...)

b) démontrer que pour tout nombre entier naturel n, 0< Un < Un+1 <2.

c) Démontrer que la suite u est convergente.


4. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un) (on pourra utiliser 2.c) et 3.b))

b) En déduire en raisonnant par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 0<2-Un<(1/2)^n+1

c) Déterminer alors la limite de u.


Pouvez vous m'aider s'il vous plait?


Un grand merci.