Bonjour, Prenons la fonction f donnée sur [0;2] par f(x) = xe^-x Cette fonction est derivable sur [0;4] Pour tout x € [0;2] on a f'(x) = (1-x) e^-x 1) Exprimer

Réponse :

f' est dérivable sur [0;2] (composition de fonctions dérivables sur [0;2]).

[tex]f''(x) = ((1-x)e^{-x})'\\f''(x)=(1-x)'e^{-x}+(1-x)(e^{-x})'\\f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}\\f''(x)=(-1-(1-x))e^{-x}\\f''(x)=(-2+x)e^{-x}[/tex]

Or, [tex]e^x>0[/tex]. De plus :

[tex]0\leq x\leq 2\\-2\leq -2+x\leq 0[/tex]

Donc [tex]-2+x\leq 0[/tex], ce qui implique que [tex](-2+x)e^{-x}\leq 0[/tex]

La dérivée seconde de f est négative sur [0;2], donc f est concave sur [0;2].